深度强化学习在卡牌游戏中的应用：算法解析

近年来，深度强化学习在解决复杂决策问题方面取得了巨大的进展。特别是在卡牌游戏领域，一些先进的算法展现出了令人瞩目的性能。本文将详细介绍几种在卡牌游戏中表现出色的深度强化学习算法，包括深度Q学习（Deep-Q Learning）、神经虚拟自我对弈（Neural Fictitious Self-Play，NFSP）、反事实遗憾最小化（Counterfactual Regret Minimization，CFR）以及深度反事实遗憾最小化（Deep Counterfactual Regret Minimization，DeepCFR）。

1. 深度Q学习（Deep-Q Learning）

深度Q学习（DQN）是强化学习领域的一个基础算法，它结合了Q学习和深度神经网络，在多个领域都取得了显著成果。在卡牌游戏中，DQN也展现出了其强大的学习能力。

1.1 DQN的核心组件

DQN算法在RLCard工具包中的实现包含以下几个关键组件：

DQNAgent：这是与环境交互的主体代理类。它负责接收环境状态，做出决策，并更新自身的策略。

Normalizer：这个类的主要职责是维护运行时的均值和标准差。在将状态输入模型之前，Normalizer会对状态进行预处理，这有助于提高学习的稳定性和效率。

Memory：这是一个内存缓冲区，用于管理转换（transitions）的存储和采样。在强化学习中，转换通常包括当前状态、采取的动作、获得的奖励以及下一个状态。

Estimator：这是用于进行预测的神经网络。在DQN中，这个网络通常用于估计不同动作的Q值。

1.2 DQN的工作原理

DQN的核心思想是通过神经网络来近似Q函数。Q函数代表了在某个状态下采取某个动作能够获得的长期累积奖励的期望值。DQN的工作流程大致如下：

观察当前状态。使用ε-贪婪策略选择动作（以一定概率随机探索，其余时间选择Q值最大的动作）。执行选择的动作，观察奖励和下一个状态。将这个经验（当前状态、动作、奖励、下一个状态）存储在记忆缓冲区中。从记忆缓冲区中随机采样一批经验。使用这批经验来更新Q网络的参数，目标是最小化预测的Q值和实际Q值之间的差距。定期将主Q网络的参数复制到目标Q网络，以提高学习的稳定性。 1.3 DQN在卡牌游戏中的应用

在卡牌游戏中，DQN可以学习到复杂的策略。例如，在扑克游戏中，DQN可以学会何时应该加注、跟注或弃牌。DQN的优势在于它可以直接从原始的游戏状态（如手牌、公共牌、筹码等）中学习，无需人工设计特征。

然而，DQN也面临一些挑战。在某些复杂的卡牌游戏中，状态空间可能非常大，这可能导致DQN的学习效率降低。此外，DQN主要适用于单代理环境，在多人游戏中可能需要一些修改或扩展。

2. 神经虚拟自我对弈（Neural Fictitious Self-Play，NFSP）

神经虚拟自我对弈（NFSP）是一种端到端的深度强化学习方法，专门用于解决卡牌游戏等不完美信息博弈问题。NFSP结合了深度强化学习和虚拟自我对弈的思想，是一种非常有效的多智能体学习算法。

2.1 NFSP的核心思想

NFSP的核心思想是通过自我对弈来不断改进策略。在这个过程中，智能体既要学习最优的应对策略，也要学习一个平均策略。具体来说，NFSP包含两个主要组件：

强化学习（RL）智能体：这个智能体负责学习当前最优的应对策略。在RLCard工具包中，这个RL智能体使用的是DQN算法。

监督学习（SL）智能体：这个智能体基于RL智能体生成的数据进行训练，目标是学习一个平均策略。

2.2 NFSP的工作流程

NFSP的工作流程大致如下：

初始化RL智能体和SL智能体。在每个训练回合中：
a. 以一定概率选择使用RL智能体或SL智能体来进行决策。
b. 如果使用RL智能体，将经验存储在RL内存中，并用于更新Q网络。
c. 无论使用哪个智能体，都将（状态，动作）对存储在监督学习内存中。定期从RL内存中采样，更新RL智能体（即DQN）。定期从SL内存中采样，更新SL智能体（即平均策略网络）。 2.3 NFSP在卡牌游戏中的优势

NFSP在卡牌游戏等不完美信息博弈中表现出色，主要有以下几个原因：

处理不完美信息：NFSP能够有效处理卡牌游戏中的不完美信息问题。例如，在扑克游戏中，玩家无法看到对手的手牌，NFSP可以学习如何在这种情况下做出最优决策。

学习多样化策略：通过结合RL和SL，NFSP可以学习到更加多样化和稳健的策略。RL智能体学习最优应对，而SL智能体学习平均策略，这种组合使得最终的策略更加难以被利用。

自我对弈：NFSP通过自我对弈不断改进，无需人类专家数据或预定义的对手策略。这使得它能够探索可能被人类忽视的新颖策略。

收敛到纳什均衡：理论上，NFSP在极限情况下可以收敛到纳什均衡，这是解决不完美信息博弈的一个重要目标。

2.4 NFSP的实现挑战

尽管NFSP在理论和实践中都表现出色，但其实现和训练仍面临一些挑战：

计算资源需求：NFSP需要同时训练RL和SL两个网络，因此计算资源需求较高。

超参数调整：NFSP的性能对超参数比较敏感，需要仔细调整以达到最佳效果。

训练稳定性：由于涉及到多个网络的交互学习，NFSP的训练过程可能不如单一网络稳定。

扩展性：虽然NFSP在两人零和游戏中表现出色，但将其扩展到多人或非零和游戏可能需要额外的改进。

3. 反事实遗憾最小化（Counterfactual Regret Minimization，CFR）

反事实遗憾最小化（CFR）是一种用于解决不完美信息博弈的经典算法。虽然它不是一种深度学习方法，但由于其在解决扑克等卡牌游戏中的卓越表现，值得我们详细讨论。

3.1 CFR的核心思想

CFR的核心思想是通过最小化"反事实遗憾"来逐步改进策略。在这里，"反事实遗憾"指的是：如果我们在过去的所有类似情况下都采取了某个特定动作，而不是实际采取的动作，我们可能会获得多少额外的收益。

3.2 CFR的工作原理

CFR算法的基本工作流程如下：

初始化每个信息集（information set）的策略为均匀分布。重复以下步骤直到收敛：
a. 对每个玩家进行遍历。
b. 计算每个信息集的"反事实值"（counterfactual value）。
c. 更新每个动作的累积遗憾。
d. 根据累积遗憾更新策略。 3.3 CFR的数学表达

让我们用数学语言更精确地描述CFR算法：

假设在时间t，信息集I下采取动作a的策略为 σ t ( I , a ) sigma^t(I,a) σt(I,a)，则我们可以定义：

反事实值：
v i ( I , a , σ t ) = ∑ z ∈ Z I π − i σ t ( z [ I ] ) ⋅ π i σ t → a ( z [ I ] , z ) ⋅ u i ( z ) v_i(I,a,sigma^t) = sum_{z in Z_I} pi_{-i}^{sigma^t}(z[I]) cdot pi_i^{sigma^t rightarrow a}(z[I],z) cdot u_i(z) vi​(I,a,σt)=∑z∈ZI​​π−iσt​(z[I])⋅πiσt→a​(z[I],z)⋅ui​(z)

其中， Z I Z_I ZI​是从信息集I可能到达的所有终局集合， π − i σ t ( z [ I ] ) pi_{-i}^{sigma^t}(z[I]) π−iσt​(z[I])是对手到达这个信息集的概率， π i σ t → a ( z [ I ] , z ) pi_i^{sigma^t rightarrow a}(z[I],z) πiσt→a​(z[I],z)是在采取动作a后到达终局z的概率， u i ( z ) u_i(z) ui​(z)是终局z的效用。

即时遗憾：
r t ( I , a ) = v i ( I , a , σ t ) − v i ( I , σ t ) r^t(I,a) = v_i(I,a,sigma^t) - v_i(I,sigma^t) rt(I,a)=vi​(I,a,σt)−vi​(I,σt)

即采取动作a的反事实值与当前策略下的期望值之差。

累积遗憾：
R T ( I , a ) = ∑ t = 1 T r t ( I , a ) R^T(I,a) = sum_{t=1}^T r^t(I,a) RT(I,a)=∑t=1T​rt(I,a)

策略更新：
σ T + 1 ( I , a ) = [ R T ( I , a ) ] + ∑ a ′ [ R T ( I , a ′ ) ] + sigma^{T+1}(I,a) = frac{[R^T(I,a)]^+}{sum_{a'} [R^T(I,a')]^+} σT+1(I,a)=∑a′​[RT(I,a′)]+[RT(I,a)]+​

其中 [ x ] + = m a x ( x , 0 ) [x]^+ = max(x,0) [x]+=max(x,0)。

3.4 CFR在卡牌游戏中的应用

CFR在解决扑克等不完美信息卡牌游戏中表现出色，主要有以下几个原因：

收敛保证：CFR理论上保证会收敛到纳什均衡，这在不完美信息博弈中是一个非常强的性质。

处理大规模问题：通过采用各种优化技巧（如抽样CFR），CFR可以处理非常大的博弈，如德州扑克。

可解释性：相比于深度学习方法，CFR的决策过程更加透明和可解释。

无需函数近似：在一些较小的博弈中，CFR可以精确计算每个信息集的策略，无需使用神经网络等函数近似器。

然而，CFR也面临一些挑战：

内存需求：对于大型博弈，存储每个信息集的策略和遗憾可能需要大量内存。

计算复杂度：尽管有各种优化方法，但对于非常大的博弈（如完整的德州扑克），普通CFR的计算复杂度仍然很高。

难以处理连续动作空间：标准的CFR主要用于离散动作空间，对于连续动作空间（如下注金额可以是任意实数）需要特殊处理。

4. 深度反事实遗憾最小化（Deep Counterfactual Regret Minimization，DeepCFR）

深度反事实遗憾最小化（DeepCFR）是CFR算法的一个重要扩展，它结合了深度学习的强大表示能力和CFR的理论保证，是目前解决大规模不完美信息博弈的最先进方法之一。

4.1 DeepCFR的核心思想

DeepCFR的核心思想是使用深度神经网络来近似CFR中的值函数和策略函数，从而能够处理更大规模的问题。具体来说，DeepCFR使用两类神经网络：

优势网络（Advantage Network）：用于估计每个动作的"优势"（即反事实遗憾）。策略网络（Strategy Network）：用于表示当前的策略。 4.2 DeepCFR的主要组件

在RLCard工具包中，DeepCFR的实现包含以下主要组件：

DeepCFR类：这是与环境交互的主要类，负责协调整个学习过程。

固定大小环形缓冲区（Fixed Size Ring Buffer）：这是一个内存缓冲区，用于管理转换（transitions）的存储和采样。它的特点是当缓冲区满时，新的数据会覆盖最旧的数据，保证了内存使用的效率。

4.3 DeepCFR的工作流程

DeepCFR的工作流程大致如下：

初始化：初始化优势网络和策略网络，以及用于存储训练数据的内存缓冲区。

采样遍历：
a. 从游戏的初始状态开始，使用当前策略进行采样遍历。
b. 在每个决策点，计算每个动作的即时反事实遗憾。
c. 将计算得到的遗憾数据存储在相应的内存缓冲区中。

训练优势网络：
a. 从内存缓冲区中采样遗憾数据。
b. 使用这些数据来训练优势网络，目标是准确预测每个动作的优势（累积遗憾）。

更新策略：
a. 使用训练好的优势网络来计算每个信息集的策略。
b. 将新的策略数据存储在策略内存缓冲区中。

训练策略网络：
a. 从策略内存缓冲区中采样数据。
b. 使用这些数据来训练策略网络，目标是准确表示当前的平均策略。

重复步骤2-5直到收敛或达到预定的迭代次数。

4.4 DeepCFR的数学表达

让我们用数学语言更精确地描述DeepCFR算法的一些关键步骤：

优势计算：
在时间t，信息集I下动作a的优势（即即时遗憾）计算如下：

A t ( I , a ) = v i ( I , a , σ t ) − v i ( I , σ t ) A^t(I,a) = v_i(I,a,sigma^t) - v_i(I,sigma^t) At(I,a)=vi​(I,a,σt)−vi​(I,σt)

其中 v i ( I , a , σ t ) v_i(I,a,sigma^t) vi​(I,a,σt)是采取动作a的反事实值， v i ( I , σ t ) v_i(I,sigma^t) vi​(I,σt)是当前策略下的期望值。

优势网络训练：
优势网络 A ^ hat{A} A^的训练目标是最小化预测误差：

L A = E ( I , a ) ∼ D [ ( A t ( I , a ) − A ^ ( I , a ) ) 2 ] L_A = mathbb{E}_{(I,a) sim mathcal{D}} [(A^t(I,a) - hat{A}(I,a))^2] LA​=E(I,a)∼D​[(At(I,a)−A^(I,a))2]

其中 D mathcal{D} D是存储在内存缓冲区中的遗憾数据。

策略更新：
使用训练好的优势网络 A ^ hat{A} A^来计算新的策略：

σ t + 1 ( I , a ) = [ A ^ ( I , a ) ] + ∑ a ′ [ A ^ ( I , a ′ ) ] + sigma^{t+1}(I,a) = frac{[hat{A}(I,a)]^+}{sum_{a'} [hat{A}(I,a')]^+} σt+1(I,a)=∑a′​[A^(I,a′)]+[A^(I,a)]+​

其中 [ x ] + = m a x ( x , 0 ) [x]^+ = max(x,0) [x]+=max(x,0)。

策略网络训练：
策略网络 σ ^ hat{sigma} σ^的训练目标是最小化与目标策略的KL散度：

L σ = E I ∼ D [ K L ( σ t + 1 ( I ) ∣ ∣ σ ^ ( I ) ) ] L_sigma = mathbb{E}_{I sim mathcal{D}} [KL(sigma^{t+1}(I) || hat{sigma}(I))] Lσ​=EI∼D​[KL(σt+1(I)∣∣σ^(I))]

其中 D mathcal{D} D是存储在策略内存缓冲区中的策略数据。

4.5 DeepCFR在卡牌游戏中的优势

DeepCFR在解决大规模不完美信息卡牌游戏中展现出了显著的优势：

扩展性：通过使用神经网络作为函数近似器，DeepCFR可以处理非常大的状态空间，这使得它能够应用于像德州扑克这样的复杂游戏。

样本效率：相比于需要遍历整个游戏树的传统CFR方法，DeepCFR通过采样和函数近似大大提高了样本效率。

泛化能力：神经网络的使用使得DeepCFR能够在相似的状态间进行泛化，这在处理未见过的情况时特别有用。

内存效率：DeepCFR不需要存储每个信息集的策略和遗憾，而是通过神经网络来表示这些信息，大大降低了内存需求。

理论保证：DeepCFR继承了CFR的理论保证，在理想情况下可以收敛到纳什均衡。

4.6 DeepCFR的实现挑战

尽管DeepCFR在理论和实践中都表现出色，但其实现和应用仍面临一些挑战：

计算复杂度：尽管比传统CFR更高效，但DeepCFR的训练过程仍然计算密集，特别是对于大规模游戏。

超参数调整：DeepCFR的性能对神经网络结构、学习率等超参数比较敏感，需要仔细调整。

采样策略：如何设计有效的采样策略以平衡探索和利用是一个重要问题。

收敛性：虽然理论上可以收敛到纳什均衡，但在实践中，由于函数近似和采样的引入，确保收敛可能比较困难。

可解释性：相比于传统CFR，DeepCFR的决策过程因为使用了神经网络而变得不那么透明。

5. 算法比较与应用建议

在了解了这几种算法后，我们可以对它们进行一个简要的比较，并给出一些应用建议：

DQN：

优点：简单直观，易于实现，适用于各种环境。缺点：在复杂的多智能体环境中可能表现不佳。建议：适合作为入门算法，或用于相对简单的单智能体卡牌游戏。

NFSP：

优点：能有效处理多智能体、不完美信息的情况，理论上可收敛到纳什均衡。缺点：计算资源需求较高，超参数敏感。建议：适用于复杂的双人零和卡牌游戏，如德州扑克的简化版本。

CFR：

优点：理论保证强，可解释性好，在某些问题上非常高效。缺点：在大规模问题上内存需求高，难以处理连续动作空间。建议：适用于状态空间相对较小的不完美信息游戏，或作为基准算法。

DeepCFR：

优点：结合了深度学习和CFR的优点，可以处理大规模问题，样本效率高。缺点：实现复杂，计算资源需求高，可解释性较差。建议：适用于大规模、复杂的不完美信息卡牌游戏，如完整版德州扑克。

在选择算法时，需要考虑以下因素：

问题规模：对于小规模问题，传统方法如CFR可能足够；对于大规模问题，考虑DeepCFR或NFSP。

计算资源：如果计算资源有限，可以从DQN开始，逐步尝试更复杂的算法。

问题特性：对于完美信息游戏，DQN可能足够；对于不完美信息游戏，考虑NFSP、CFR或DeepCFR。

理论保证需求：如果需要强理论保证，CFR和DeepCFR是好的选择。

可解释性需求：如果需要高可解释性，传统CFR可能更合适。

实现复杂度：如果希望快速实现和测试，DQN是个好的起点；如果有充足的时间和资源，可以尝试更复杂的算法。

总的来说，这些算法各有特点，在实际应用中往往需要根据具体问题和资源情况进行选择和调整。随着研究的深入，我们相信会有更多强大的算法被开发出来，进一步推动卡牌游戏AI的发展。

参考文献

Mnih, V., et al. (2015). Human-level control through deep reinforcement learning. Nature, 518(7540), 529-533.

Heinrich, J., & Silver, D. (2016). Deep reinforcement learning from self-play in imperfect-information games. arXiv preprint arXiv:1603.01121.

Zinkevich, M., et al. (2007). Regret minimization in games with incomplete information. Advances in neural information processing systems, 20.

Brown, N., & Sandholm, T. (2019). Superhuman AI for multiplayer poker. Science, 365(6456), 885-890.

RLCard documentation. (n.d.). Algorithms — RLcard 0.0.1 documentation. Retrieved from https://rlcard.org/algorithms.html#deepcfr

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